方差分析及回归分析¶

在化工生产中，原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度等因素都有可能影响产品质量，有些因素影响较大，有些较小。我们想找出对产品质量有显著影响的那些因素。方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。

产品质量就是我们要考察的 试验指标，催化剂等影响试验指标的条件称为 因素。试验中只有一个因素在改变称为 单因素试验，多于一个因素在改变称为 多因素试验。比如试验中改变催化剂的种类，进行多次测量分析，就是单因素试验。如果测得产品质量有显著差异，则说明催化剂对生产的影响是显著的。

单因素试验的方差分析¶

我们记 \(n = \sum\limits_{j=1}^{s}n_j\)，总平均 \(\mu = \frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{s}n_j\mu_j\)

数学模型:

方差分析的目的:

引入效应:

\(\delta_j = \mu_j - \mu\)，则 \(n_1 \delta_1 + n_2 \delta_2 + \cdots + n_s \delta_s = 0\)

改写模型与假设:

现在我们寻找统计量

引入总偏差平方和/总变差 \(S_T\):

水平 \(A_j\) 下的样本均值为 \(\overline{X}_{\cdot j}\)

得 \(S_T=S_E + S_A\)

\(S_E\) 是在水平 \(A_j\) 内的差异，称作 误差平方和 ，\(S_A\) 是水平 \(A_j\) 与总体的差异，称作 效应平方和

\(S_E\):

\(S_A\):

进一步可证 \(S_A\) 与 \(S_E\) 独立，且当 \(H_0\) 为真时:

\[ \frac{S_A}{\sigma^2} \sim \chi^2(s-1) \]

当 \(H_0\) 为真时:

方差分析表:

计算 \(S_E, S_A\):

\(S_T = \sum\limits_{j=1}^{s}\sum\limits_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar{X})^2 = \sum\limits_{j=1}^{s}\sum\limits_{i=1}^{n_j}X_{ij}^2 - n \bar{X}^2\)

\(S_A = \sum\limits_{j=1}^{s}n_j\overline{X}_{\cdot j}-n\overline{X}^2\)

\(S_E = S_T - S_A\)

因素 \(A\) 有 \(r\) 个水平，因素 \(B\) 有 \(s\) 个水平，对因素 \(A,B\) 的每个组合都做 \(t\) 次试验

一元线性回归

多元线性回归

To be continued...